Teoria zakładów Część 2

Podsumujmy to, co omówiliśmy w części pierwszej. Mamy teoretyczne ramy dla zrozumienia natury niepewności, ale nie stworzyliśmy żadnych aplikacji. Mamy praktyczne dostosowanie, określane jako ułamkowe Kelly'ego lub jako regres na rynek, które jest użyteczne, ale niedoskonałe i którego podstawy teoretyczne opierają się na pewnych niepewnych założeniach. To mecz stworzony w niebie... zróbmy to razem.

Część pierwsza: ku teorii wszystkiego

Weźmy Bayesa

Aby kontynuować poprzedni przykład z części pierwszej, załóżmy, że prawdopodobieństwo implikowane na rynku wynosi 50%, a prawdopodobieństwo modelu wynosi 55%. Przypuśćmy, że zdecydowaliśmy się również, subiektywnie lub w inny sposób, że wybierzemy początkowy rozmiar zakładu o wartości 1/4 Kelly. Zamierzamy przekształcić to założenie w "wcześniejszą dystrybucję" dla prawdziwego prawdopodobieństwa - początkowy obraz tego, co naszym zdaniem wygląda. Ten początkowy obraz nie musi być doskonały, ponieważ będziemy go stale aktualizować, jak dowiadujemy się z naszej historii zakładów.

Uwaga: Poniżej znajduje się moja własna metoda konstruowania tej dystrybucji - to nie jedyny sposób, aby to zrobić, ale myślę, że zapewnia dobrą równowagę dokładności i prostoty. Bardziej wyrafinowani czytelnicy są zachęcani do tworzenia własnych metod!

Możemy uprościć obraz, zakładając, że prawdziwe prawdopodobieństwo zawsze mieści się w pewnym zakresie. Zakres ten jest ograniczony na jednym końcu przez implikowane prawdopodobieństwo rynku, a na drugim końcu przez prawdopodobieństwo modelu. W tym przykładzie zakres wynosi od 50% do 55%. Czy to możliwe, że prawdziwe prawdopodobieństwo może wynosić 48% lub 57%? Tak, ale jest mało prawdopodobne, aby ignorowanie tych możliwości nie miało większego znaczenia.

Brakuje teraz tylko kształtu wcześniejszej dystrybucji. Powrócę do idei "regresji na rynek" i modeluję wagę regresji za pomocą uproszczonej wersji dystrybucji Beta. Dystrybucja Beta ma zwykle dwa parametry, ale chcę relację jeden-do-jednego między wielokrotnością Kelly'ego a tą dystrybucją, więc użyję tylko jednego parametru i ustawię drugi na 1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynikająca z rozkładu , znany również jako "dystrybucja funkcji mocy" (patrz poniżej).

teoria wszystkiego, w artykule1

Gdzie k jest parametrem, a prawdziwe prawdopodobieństwo = x * (prawdopodobieństwo modelu) + (1-x) * (prawdopodobieństwo rynkowe).

Biorąc pod uwagę początkową wielokrotność Kellya 0,25, możemy rozwiązać k przez przekształcenie go na wagę regresji 0,429 jak powyżej i ustawienie średniej rozkładu na wagę regresji 0,429 - a więc wielokrotność Kelly'ego 0,25 przekształca się na k = 0,429 / (1 - 0,429) = 0,75, a dystrybucja wygląda tak:

teoria wszystkiego, w artykule2.jpg

Oto, jak wyglądałaby dystrybucja dla różnych początkowych ułamków Kelly:

teoria wszystkiego, w artykule3.jpg

Załóżmy, że postawiłeś pierwszy zakład na 1/4 Kelly i wygrywa. Możemy wyciągnąć wnioski z tego wyniku, stosując twierdzenie Bayesa:

Tylne f (x) uwarunkowane obserwowanymi wynikami jest proporcjonalne do (prawdopodobieństwo, że obserwowane wyniki będą uzależnione od x) razy przed f (x).

Obserwowane wyniki uzależnione od x następują z rozkładem dwumianowym, w tym przypadku z 1 sukcesem w 1 próbie.

Obliczenie rozkładu a posteriori daje następujące:

teoria wszystkiego-w-artykule4.jpg

Możesz zobaczyć, jak nowe informacje pozwoliły nam nieco zaktualizować nasze zrozumienie generatora - w końcu to tylko jeden zakład! Możemy pobrać wzory z sekcji "regresja do rynku" powyżej i zastosować je w odwrotnej kolejności, aby zobaczyć, że rozkład tylny implikuje ułamek Kellya równy 0,26. Więc dla naszego następnego zakładu powinniśmy zwiększyć nasz zakład z 0,25 Kelly do 0,26 Kelly.

Kontynuujmy ten przykład - załóżmy, że twój model jest aktywny od roku i obstawił 500 zakładów ze średnim przewidywanym prawdopodobieństwem wygranej 55%. Wydajność modelu była niska - 250 zwycięstw i 250 strat. Czy powinieneś kontynuować lub zakończyć?

Matematyka mówi, że powinieneś kontynuować, ale zmniejsz swój zakład do 0,05 Kelly.

Następnie stracisz dziesięć kolejnych zakładów. Co teraz?

teoria wszystkiego-w-artykule9.jpg

Uprzednia frakcja Kelly

Teraz istnieją wystarczające dowody, że nadszedł czas, aby zakończyć.

Dla szczęśliwszego przykładu załóżmy, że nowy model wygrywa swoje pierwsze 20 zakładów.

Wynik jest oczywiście napędzany przynajmniej przez szczęście - nawet jeśli model jest doskonały, wygranie 55% zakładu dwadzieścia razy z rzędu jest wciąż nietypowe. Formuła bayesowska dzieli wynik między sygnał i hałas tak, że sugeruje zwiększenie rozmiaru zakładu dla 21. zakładu z 0,25 Kelly do 0,47 KelFunkcja

Możemy uogólnić powyższą metodę, aby obliczyć tylną frakcję Kelly'ego jako funkcję:

- Poprzednia frakcja Kelly'ego;

- Prawdopodobieństwo modelu, prawdopodobieństwo rynkowe i marża bukmachera dla danego zakładu;

- Historia zakładów modelu (prawdopodobieństwo modelu, prawdopodobieństwo rynkowe, wynik dla serii wcześniejszych zakładów)

Kod VBA dla tej funkcji znajduje się w dodatku.

Aby lepiej zrozumieć zachowanie tej funkcji, możemy wykonać kilka testów czułości. Każdy z tych testów zakłada ciąg zakładów każdy z prawdopodobieństwem rynkowym = 0,50 i prawdopodobieństwem modelu = 0,55.

Test # 1: Załóżmy, że pojawiające się wyniki dokładnie odpowiadają oczekiwaniom modelu - 11 zwycięstw za każde 9 strat, zaobserwowana stopa wygranej 55%. Jak wygląda późniejsza frakcja Kelly'ego po 20 zakładach, 40 zakładach, 60 zakładach itp.?

Test # 2: Przypuśćmy, że pojawiające się wyniki odpowiadają dokładnie oczekiwaniom rynku - 10 zwycięstw za każde 10 strat, zaobserwowana stopa wygranej 50%. Jak wygląda późniejsza frakcja Kelly'ego po 20 zakładach, 40 zakładach, 60 zakładach itp.?

Widać, że model reaguje zupełnie inaczej zarówno na pozytywne, jak i negatywne wyniki, w zależności od wyboru wcześniejszej frakcji Kelly'ego, która jest używana. Twój wybór tutaj powinien być poinformowany przez twój proces, dane i założenia, które leżą u podstaw twojego modelu, ale wybór bliski 0.50 (lub 1/2 Kelly) daje ci największą elastyczność, aby uczyć się na wynikach, gdy się pojawią.

Czego się nauczyliśmy?

Zakłady sportowe są unikalnym rodzajem oferty hazardowej, ponieważ wykorzystują naturalne generatory zamiast sztucznych, co powoduje konieczność rozważenia zarówno niepewności procesu, jak i niepewności parametrów. Aby to zrobić, możemy przyjąć Kryterium Kelly'ego i zmodyfikować je - najpierw poprzez regresję na rynek, aby utworzyć początkowy obraz generatora, a następnie ucząc się na podstawie zaobserwowanych wyników modelu, aby wyostrzyć obraz.

Wynikowa "tylna frakcja Kelly'ego" zachowuje najważniejszą właściwość kryterium Kelly'ego - że skaluje ona wielkość zakładu w górę iw dół proporcjonalnie do bankrollu - ale również skaluje rozmiar zakładu w górę iw dół proporcjonalnie do stopnia zaufania do poprawne zrozumienie generatora przez model. W porównaniu do zwykłego Kelly jest to lepsze niż w przypadku zmiany rozmiaru zakładu, a także przewyższa zarówno CLV, jak i ROI, w celu oceny wyników modelu - uwzględnia niepewność procesu w taki sposób, że czysty ROI nie, i nie wymaga założenie efektywności rynku, które robi CLV.

Przeczytaj: krytyczna analiza kryterium Kelly'ego

Ponieważ pierwotne zastosowanie kryterium Kelly'ego do hazardu uważane było tylko za sztuczne generatory (Ed Thorp i blackjack), literatura naukowa na temat Kelly'ego generalnie milczy na temat pojęcia błędu modelu innego niż racjonalne uzasadnienie użycia arbitralnie wybranej frakcji Kelly'ego .

Ten zmodyfikowany Kryterium Kelly'ego wyraźnie bierze pod uwagę ryzyko modelu i odzwierciedla niektóre z jego ważnych właściwości - że propaguje się przez wiele zakładów z tego samego modelu w sposób skorelowany i że wielokrotne obserwowanie wyników wygranych / strat może pozwolić na wystąpienie błędu modelu "Uczony" w sensie bayesowskim.

Możesz eksperymentować dla siebie, korzystając z mojej funkcji dystrybucji lub wymyślając własną. Z przyjemnością odpowiem na wszelkie pytania na Twitterze @PlusEVAnalytics.

Mamy nadzieję, że wariancja parametru pozostanie bliska zeru, a wariancja procesu będzie na Twoją korzyść!